1.哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想是数论中存在最久的未解问题之一。这个猜想最早出现在1742年，哥德巴赫猜想可以陈述为：“任一大于2的偶数，都可表示成两个素数之和。哥德巴赫猜想在提出后的很长一段时间内毫无进展，目前最好的结果是陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）。哥德巴赫猜想另一个较弱的版本（也称为弱哥德巴赫猜想）是声称大于5的奇数都可以表示成三个质数之和。这个猜想可以从哥德巴赫猜想推出。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数，都可以表示成三个质数之和，基本证明了弱哥德巴赫猜想。
2.四色猜想
四色猜想的提出来自英国。1852年毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象“看来每幅地图都可以用四种颜色着色使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
电子计算机问世以后由于演算速度迅速提高加之人机对话的出现大大加快了对四色猜想证明的进程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过程”后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在1976年6月他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上用了1200个小时作了100亿判断终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。
3.费马猜想
费马猜想是数论难题之一，指的是当n＞2时 ，x^n＋y^n＝/=z^n 解。又称费马大定理 。 即： X的N次方 加 Y的N次方 不等于 Z的N次方。
现代数学家还利用大型电子计算器来探索费马猜想，使p 的数目有很大的推进。到1977年为止，瓦格斯塔夫证明了p < 125000时，费马猜想成立。《中国数学会通讯》1987年第2期据国外消息报导，费马猜想近年来取得了惊人的研究成果：格朗维尔和希思─布龙证明了「对几乎所有的指数，费马大定理成立」。即若命N(x)表示在不超过x的整数中使费马猜想不成立的指数个数，则 证明中用到了法尔廷斯﹝Faltings﹞的结果。另外一个重要结果是：费马猜想若有反例，即存在x > 0，y > 0，z > 0，n > 2，使xn + y n = z n ，则x > 101,800,000。
经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题。
克里斯蒂安·哥德巴赫简介：
哥德巴赫（Goldbach C.),出生于1690.3.18是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）。曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了伯努利家族，所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。
1725年到俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年～1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。曾提出着名的哥德巴赫猜想。
克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach， 1690年3月18日－1764年11月20日），又译歌德巴赫，普鲁士数学家，他在数学上的研究以数论为主，作为哥德巴赫猜想的提出者而闻名。哥德巴赫(C. Goldbach)并不是职业数学家，而是一个喜欢研究数学的富家子弟。他于1690年生于德国哥尼斯堡，受过很好的教育。哥德巴赫喜欢到处旅游，结交数学家，然后跟他们通讯。1742年6月17日，他在给好友欧拉的一封信里陈述了他着名的猜想——哥德巴赫猜想。1770年，英国数学家爱德华·华林（Waring Edward）首先将它公之于众 ，成为关于数学的一场革命。